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平面图_图文_百度文库

  

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  平面图_工学_高等教育_教育专区。平面图 问题:假定有三个仓库 x1,x2,x3 和三个车站 y1,y2,y3。 为了便于货物运输,准备在仓库与车站间修筑铁路,如 图(a) 所示, 其中边代表铁路。问是否存在一种使铁路不 交叉的路 平面图 问题:假定有三个仓库 x1,x2,x3 和三个车站 y1,y2,y3。 为了便于货物运输,准备在仓库与车站间修筑铁路,如 图(a) 所示, 其中边代表铁路。问是否存在一种使铁路不 交叉的路线设计方案,以避免修建立交桥。 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ? y1 y2 y3 y1 y2 y3 但如果在 x2 与y1 之间也要修一条铁路,则可验证满足要求 的方案不存在。 定义:若图 G 可画在一个平面上使除顶点外边不交 叉,则称 G 可嵌入平面,或称 G 为可平面图。可平 面图 G 的边不交叉的一种画法称为 G 的一个平面嵌 入,G 的平面嵌入表示的图称为平面图。 例: = 平面图 可平面图 = 不可平面图 可平面图 不可平面图 (1) G是非连通图,每个连通分支可嵌入平面,G 称为可平面图。反之,不然。 (2)若G是连通图, 但G有割点,从割点处割开, 每个小块是可平面,G就是可平面的。反之, 不然。 因此一般情况下讨论连通度大于2的情形。 (3)若G是一个平面图, G的任何一个子图都是平 面图。 可平面嵌入和可球面嵌入等价 定理: 图G可平面嵌入的充要条件是G可球面嵌入。 证明:考虑球极平面投影,球面S与平面P相切, 过切点的直径的另外一段为Z,定义映射 f: S?P 设p是平面P上的点, s是球面S上的点, 仅当z ,s, p三点共线的时候有f(s)=p, f(z)=无穷远。 f是可逆映 射. 若G’是图G在S上的嵌入,不妨设Z不在G’的边 和顶点上, 由f的性质, G’在平面上的像即为G在 P上的嵌入。 反之,若G”是图G在平面P上的嵌入, 则由f的 性质, G”在S上的原像即为图G在S上的嵌入。 注意: ? 一个图可嵌入平面的充分必要条件是每个 连通分支可嵌入平面 ? 如一个连通图有割点, 这从割点切开得到的 图是可嵌入的,则这个图是可平面的, 否则不 可平面 因此, 可平面图只需要讨论2-连通图. 定义: 设G 是一个平面图,G 将所嵌入的平面划分 为若干个区域,每个区域的内部连同边界称为 G 的 面,无界的区域称为外部面或无限面。每个平面图 有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一个面,构成 f 的边界的边数(割边计算两次)称为 f 的次数,记 为 deg(f )。 ? 如果两个面有共同的边界, 称这两个面相 邻。如果边不是割边, 它一定是某两个面 的共同边界。 例: f f 1 f f 3 5 deg(f1) =1 deg(f2) =2 2 f 4 有5个面:f1,f2,f3,f4,f5 ( f5 为外部面) deg(f3) = 3 deg(f4) = 6 deg(f5)= 10 相加为22,正好是 边数11的2倍 图不连通,其外部面的次数为5 定理:设具有m 条边的平面图G 的所有面的集合为 , 则 ? deg( f ) = 2m f ?Y 证明 任取G 的一条边 e 。若 e 是两个面的公共边, 则在计算面的次数时,e 被计算两次。若 e 不是公 共边,则 e 是 G 的割边,由面的次数的定义,e 也 被计算两次。所以所有面的次数之和是边数的 2倍, 即结论成立。 平面图的Euler公式 问题1: 树是特殊的平面图。 树的顶点数,边数之 间有关系,而树的面数就是1. 它们能满足 n-m+r=2, 是否对一般的平面图也满足这个关系 问题2:如果一个平面图有不同的平面嵌入, 不同 的平面嵌入面数是否一样呢?(面数是平面图的最 重要的特征之一) ? 下面的定理就回答了这个问题。 平面图的Euler公式 ? 定理:(Euler公式) 设G 是具有 n 个点m 条边r个面的连通平面图,则有 n – m + r =2 证明:对 r 用归纳法。 当r =1时 ,G 无圈又连通,从而是树,有 n =m+1,于是 n -m+r =(m+1)- m + 1= 2。 归纳假设:设r=k的连通平面图满足n-m+r=2. 设G是任意一个r=k+1的连通平面图。 当 r = k+1 时,此时 G 至少两个面,从而有圈 C。 删去 C 中一条边,记所得之图为 G ’ 。并设 G ’ 的点数、边数和面数依次为 n’ , m’ 和 r’, 易知 G ’ 仍连通,但只有 k 个面,由归纳假设有 n’ - m’ + r’ = 2。又因为n’ = n , m’ = m - 1, r’ = r – 1, 所以有n -(m-1)+(r -1)= 2 定理2: 对具有k个连通分支的平面图G,有 n-m+r=k+1 证明:假设平面图G的k个连通分支G_i的顶 点数,边数,面数分别为n_i,m_i, r_i,i=1,2,…,k. 根据定理1 有n_i-m_i+r_i=2 , 则 (n_1+n_2+…+n+k)(m_1+…+m_k)+(r_1+…+r_k)=2k ? 而n_1+…+n_k=n, m_1+…+m_k=m, ? r_1+…+r_k=r+(k-1),理由是对每个连通分支 的外部面来说,对G只有一个外部面, 也 就是被重复多算了k-1次。 ? 因此 n-m+r=k+1 定理:设 G 是具有n 个点的连通平面图,是 G 中所有面的集合,若对 任意的 f ∈ 均 有 deg( f )≥l ≥3,则 m ? l (n - 2) l-2 证明:由于面的次数不少于l, 也就是每个面的周界所含的边 数不少于l,则面边结合图的总的边数至少是rl,也就是面的 次数之和至少是rl,而平面图的面数之和为2m, 所以 rl=2m 带入欧拉公式得结论。 注意:这个定理可以用来判断某些图不是平 面图。 例:证明 K5 和 K 3,3 是不可平面图。 证明:若 K5 是可平面图,则因 K5 是至少三个点的简单图,由 推论,K5 应满足 m≤3n -6。而 K5 中 m=10, n = 5,代入不等 式得 10≤3×5 – 6 = 9 矛盾,所以 K5 是不可平面图。 对 K 3,3,因 K 3,3 没有长小于4的圈,所以若 K 3,3 是可平面图, 则对其相应的平面图中每个面的次数至少为4。由定理,K 3,3 应满足 l = 4 的不等式即 4 n n m≤ 4 ( 2 -2)=2 - 4 而K 3,3中m = 9, n = 6,代入上式得: 9≤2×6-4 = 8 矛盾,所以 K 3,3 是不可平面图。 ? 定理: 设G 是有k(k大于等于2)个连通分 支的平面图, 各面的次数至少是l(l=3), 则边数m与顶点数n有如下关系 ? m ? l (n _ K-1 ) l-2 推论:G是n(=3)阶m条边的简单平面图, 则m=3n-6. 证明(1)G是连通图: 由于G是简单平面图, 又n=3,显然对每个面 f,都有d(f)=3. 由公式 ? 2m=\sum d(f)=3r 又由欧拉公式得到 ? n-m+r=2即 3n-3m+3r=6 于是 ? 3n-6=m (2) G有k个连通分支,对每个连通分支用 (1)的结果,然后推出m=3n-6 定理:若 G 是简单平面图,则δ≤5. 证明 对点数 n =1,2,最景观 - 景观安排资源共享平台 让安排变得更简,直接验证可知结论成立。 设n ≥3,若 δ≥6,则 6n ? n ?V ( G ) ? d ( v ) = 2m ? m > 3n - 6 这与推论矛盾。 所以δ≤5。 例:设G是连通平面图,且它的每个面都为一个 l(l=3)阶圈,则 m=l(n-2)/(l-2). 证明: 必须先证明:每条边均在两个面的公共边上。 反证:如G有一条边不是两个面的公共边, 则这条 边必不在回路上。于是它所在面不是由圈组成, 而 是由闭迹组成,矛盾。 由于G的的每个面均是l阶圈,而G的每个面均在两 个面上, 于是 ? lr=2m, r=2m/n ? 有公式 n-m+r=2,解得 ? m=l(n-2)/(l-2) 极大平面图 定义: 一个图G是连通的可平面图,但任意不相 邻的两个顶点间加一条边都不可平面的, 则称 这个图是极大可平面图. 定理:设G是极大可平面图, 则G的每个面都是 一个三角形. 性质1: G是连通的 性质2: G不存在割边 性质3:设G为n(n?3)阶极大平面图,则G的每个 面的次数均为3. 证明:充分性:设G’是G的平面嵌入, 且每个面皆3 次, 由公式所有的面的次数之和=2m, 则3r=2m,由 欧拉公式n-m+r=2, 则m=3n-6. 而平面图的边的上界 是3n-6,G’的边已经达到上界, 故G是极大平面图。 必要性: 推论:平面图G 是极大平面图的充分必要条件是 m=3n-6. 定理2: 设G是顶点数大于等于4的极大可平面图, 则 G的最小度数大于等于3. 证明:任取G中一个点v, 由于G是平面图, 则G-v 也是平面图。 设G’是G的平面嵌入,则v在G’的位置 必在G’-v的某个面f’的内部. 又G是极大平面图,f’的 边界上至少有三个顶点,且这些点必须与v都相邻, 故d(v)大于等于3. 由v的任意性知,G的最小度数至 少是3. 可平面图的判断 ? 由于我们已经知道K5 和K3,3都不是平面图, 我们把它们的边的内点处添加一些新的点, 这些得到的图仍然不是平面图。 ? 我们称这样得到的图是原来图的同胚图。 ? 如果一个图含有一个与K5 或K3,3的同胚子图, 则这个图一定不是平面图。 ? 问题是:这是不是必要条件呢? ? 定义: 在一个图的任意一边的中间加上一个 新点, 将原来的一条边变成两条边, 这样得 到的图叫原来图的细分. 如果两个图可由同 一个图细分得到, 称这两个图同胚. ? 判定定理: G是可平面的当且仅当G中不含 与K5 和K3,3 同胚的子图. ? 判定定理2: G为平面图的充要条件是G中 无可收缩成K5 或K3,3的子图。 平面图的厚度 ? 定义: 如果一个图不是平面图, 我们可以把它的 边嵌入到几个平面,使得每个平面上的边不交叉, 即把图的边集划分成 t E (G) = ? Ei , Ei ? E j = ?, i ? j i =1 且每个边导出的子图 G[ Ei ], i = 1,2,..,t 皆为平面图, t的最小值称为图G的厚度。 ? 平面图的厚度为1. 非平面图,其厚度最少为2. 单 星妖怪的厚度为2. 其外面的五角星和连接内面五 角星的边成一平面图, 内五角星成一平面图。 ? 对一般图, 厚度如何求是一个尚未解决的 问题,至今既未给出计算厚度的公式, 亦 未建立有效的算法。 对于厚度下界的估计 有下面的定理。 ? 定理: 如 ? (G) 代表G的厚度,则 ? m ? 1) ? (G) ? ? ?, n ? 2, ?x?是x的整数部分加1 3 n 6 ? ? ? m ? 2) 连通图G中无三阶圈,则? (G) ? ? ?, n ? 2 ? 2n - 4 ? ?n ? 7? 3) ? (K n ) ? ? , n ? 3.[x]是x的整数部分 ? ? 6 ? 平面图的几何对偶图(补充) ? 设G*是平面图G的对偶图,G*如下构造: G的平面嵌入G’的面集F是G*的顶点集合, 仅当G‘中的两个面有公共边的时候, 在G* 中对应的两个点连边。 若e是G’的桥,即 G’-e不连通,则在G*上画环,此环与e所在 的面对应的G*的顶相关联。 若平面图与对 偶图同构,称G为自对偶图。 ? 见p65习题5,6.

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